Tối ưu hóa đa mục tiêu là gì? Nghiên cứu khoa học liên quan

Tối ưu hóa đa mục tiêu (MOO) là quá trình tìm kiếm tập hợp giải pháp Pareto tối ưu, trong đó không thể cải thiện một mục tiêu mà không làm suy giảm tiêu chí khác; mỗi giải pháp đại diện cho thỏa hiệp giữa các hàm mục tiêu xung đột. Trong MOO, tập Pareto gồm các giải pháp không bị chặn, phản ánh biên ranh giới giữa các mục tiêu nhằm đảm bảo cân bằng tối ưu cho các quyết định đa tiêu chí.

Định nghĩa và phạm vi

Tối ưu hóa đa mục tiêu (Multi-Objective Optimization, MOO) là quá trình tìm kiếm tập hợp các giải pháp tốt nhất đồng thời theo nhiều hàm mục tiêu có thể mâu thuẫn, không thể gộp thành một tiêu chí duy nhất. Mỗi giải pháp trong tập Pareto đại diện cho một thỏa hiệp giữa các mục tiêu và không thể cải thiện mục tiêu này mà không làm suy giảm mục tiêu khác.

Không gian quyết định XX bao gồm tất cả các biến số đầu vào hợp lệ, thường bị ràng buộc bởi hệ bất đẳng thức và đẳng thức. Không gian mục tiêu là tập hợp các vector F(x)=(f1(x),f2(x),…,fk(x))F(x) = (f_1(x), f_2(x), \dots, f_k(x)) mà ta cần tối ưu hóa đồng thời.

  • Ứng dụng kỹ thuật: thiết kế cơ khí, tối ưu kết cấu cầu, cân bằng độ bền và chi phí.
  • Ứng dụng kinh tế: tối ưu lợi nhuận và rủi ro trong đầu tư tài chính.
  • Ứng dụng logistics: tối ưu chi phí vận chuyển và thời gian giao hàng.

Giải thích chi tiết về MOO có thể tham khảo tài liệu giảng dạy của MIT OpenCourseWare ở đây, cung cấp cơ sở lý thuyết và ví dụ minh hoạ.

Lịch sử và phát triển

Nguồn gốc MOO bắt đầu từ công trình của Charnes và Cooper (1961) với bài toán lập trình tuyến tính nhiều mục tiêu. Họ đề xuất cách xây dựng hàm mục tiêu tổng hợp bằng trọng số, mở đường cho các phương pháp scalarization.

Những năm 1960–1970, Kuhn–Tucker và các nhà toán học tiếp tục phát triển lý thuyết tối ưu lồi đa mục tiêu, định nghĩa điều kiện bão hòa và biện luận tối ưu cục bộ. Góc nhìn lý thuyết giúp xác định tính khả thi và tính lồi của miền Pareto.

  • 1961: Charnes & Cooper – Linear Programming đa mục tiêu.
  • 1963: Kuhn–Tucker – Điều kiện tối ưu lồi.
  • 1970s: Phương pháp ε-constraint, phương pháp điểm tham chiếu.

Cách mạng thực sự xảy ra với thuật toán tiến hóa NSGA-II của Deb và cộng sự (2002), cung cấp khả năng tìm và duy trì đa dạng giải pháp Pareto trong một quần thể với độ phức tạp tính toán hợp lý Deb et al., 2002.

Hình thức bài toán

Bài toán MOO điển hình được biểu diễn dưới dạng:

min⁡x∈XF(x)=(f1(x),f2(x),…,fk(x)) \min_{x\in X} F(x) = \bigl(f_1(x), f_2(x), \dots, f_k(x)\bigr)

Trong đó, X={x∈Rn:gj(x)≤0 (j=1,…,m), hℓ(x)=0 (ℓ=1,…,p)}X = \{x\in\mathbb{R}^n: g_j(x)\le0\ (j=1,\dots,m),\ h_\ell(x)=0\ (\ell=1,\dots,p)\} xác định miền khả thi. Các hàm mục tiêu fi(x)f_i(x) có thể tuyến tính hoặc phi tuyến, lồi hoặc không lồi.

Để giải quyết bài toán phi tuyến đa mục tiêu, thường phải chuyển bài toán sang dạng xấp xỉ hoặc phân mảnh thành nhiều bài toán con scalarization:

  1. Trọng số tuyến tính: min⁡∑i=1kwifi(x),wi≥0,  ∑wi=1 \min \sum_{i=1}^k w_i f_i(x),\quad w_i\ge0,\;\sum w_i=1
  2. Phương pháp ε-constraint: \min f_p(x)\ \text{với}\ f_i(x)\le\varepsilon_i,\ i\ne p \end{script>
Phương pháp Nguyên lý Ưu/Nhược
Trọng số tuyến tính Tổng có trọng số các hàm mục tiêu Đơn giản; khó áp dụng khi không lồi
ε-constraint Ràng buộc mục tiêu phụ Bao phủ Pareto tốt; khó chọn ε phù hợp

Khái niệm Pareto

Giải pháp